Mathematik-Brückenkurs an der FU Berlin (2/2)
Montag
Abzählbarkeit
Um unendlich große Mengen auf Gleichmächtigkeit zu prüfen, haben wir die Abzählbarkeit einer unendlichen Menge definiert. Abzählbarkeit besteht, wenn eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen in diese Menge existiert. Zur Herleitung diente uns Cantors erstes Diagonalargument. Eine Menge, für die keine derartige Abbildung existiert, bezeichnen wir als überabzählbar (Cantors zweites Diagonalargument).
Vollständige Induktion
Der Induktionsbeweis dient dazu, Allaussagen für alle natürlichen Zahlen zu beweisen. Hierzu wird zuerst der Induktionsanfang gesetzt und bewiesen, um darauf aufbauend die Gültigkeit für alle nachfolgenden Zahlen zu beweisen (Induktionsschritt). Die Aussage selbst wird als Induktionsvoraussetzung bezeichnet.
Dienstag
Summen- und Produktzeichen
- Summenzeichen
Wir haben endliche Summen eingeführt, die mit Hilfe des Summenzeichens, bestehend aus dem Index mit Startwert und dem Endwert sowie eines Folgegliedes der Reihe eingeführt. Wir haben Rechenregeln zur Multiplikation mit einer Konstanten, die Addition von Summen und die Indextransformation eingeführt. Die leere Summe wird zu 0 (neutrales Element der Addition) definiert.
- Produktzeichen
Das endliche Produkt wurde analog zu obiger Definition eingeführt, wobei das leere Produkt zu 1 (neutrales Element der Multiplikation) definiert wird. In diesem Zusammenhang haben wir ebenfalls die Fakultät einer natürlichen Zahl betrachtet.
Erweitertes Induktionsprinzip
Wir haben die vollständige Induktion erweitert, um den Induktionsanfang mit dem Wert 1 zu verallgemeinern.
- Kardinalität einer Menge
Die Kardinalität einer endlichen Menge bezeichnet deren Mächtigkeit und entspricht der Anzahl der Elemente.
Binomialkoeffizient
Wir haben zum Verständnis der (allgemeinen) binomischen Formel den Binomialkoeffizienten eingeführt.
- Pascalsches Dreieck
Zur Illustration der Berechnung der Werte der Binomialkoeffizienten haben wir diese in Form des pascalschen Dreiecks angeordnet. Hierbei entsprechen die Werte eines Binomialkoeffizienten der Summe der beiden darüber angeordneten Werte.
Zur Rückführung auf Bekanntes haben wir die binomische Formel mit dem Spezialfall 2 als Exponenten betrachtet.
Mittwoch
Kombinatorik
Wir haben den Begriff der Kombinatorik im Allgemeinen eingeführt.
- Permutationen
Unter einer Permutation versteht man eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst. Es handelt sich somit um die möglichen Anordnungen ihrer Elemente.
Wir haben außerdem den bereits eingeführten Begriff des Binomialkoeffizienten verwendet, um beispielsweise die Anzahl der möglichen Kombinationen im Lotto zu ermitteln.
Donnerstag
Körper der reellen Zahlen
Wir haben den Körper der reellen Zahlen als Grundlage der Analysis auf Basis von Axiomen eingeführt. Der Körper enthält die zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen Addition und Multiplikation.
- Axiome
Axiome sind grundsätzliche Festlegungen, die nicht weiter bewiesen werden. Es gelten die Assoziativ- und Kommutativgesetze und das Distributivgesetz. Es existieren für Addition und Multiplikation jeweils ein neutrales (0 und 1) und ein inverses Element.
Mathematik-Brückenkurs an der FU Berlin (1/2)
Montag
Elementare Logik
Wir haben den Begriff der mathematischen Aussage als sinnvolles sprachliches Gebilde definiert, welches entweder wahr oder falsch sein kann. Es handelt sich in diesem Sinne um eine zweiwertige Logik.
- Junktoren
Wir haben grundlegende logische Verknüpfungen eingeführt. Konkret handelt es sich um die Verknüpfungen Negation (NOT), Konjunktion (UND), Disjunktion (ODER – einschließend), Kontravalenz (ODER – ausschließend), Implikation (mit Prämisse als Voraussetzung und Konklusion als Folgerung) und Äquivalenz (Gleichwertigkeit). Die Definition erfolgte jeweils über Wahrheitstafeln. Wir haben darüber hinaus zusammengesetzte Aussagen aus den zuvor genannten Verknüpfungen betrachtet und dazu eine entsprechende Operatorpräzedenz vereinbart.
- Tautologien
Wir haben uns zusammengesetzte Aussagen, die unabhängig von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen wahr sind und entsprechend allgemeingültig genannt werden, angesehen. Dazu gehören – neben einigen anderen – insbesondere das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die De Morganschen Gesetze, die doppelte Negation und die Kontraposition.
Dienstag
Beweisprinzipien
Wir haben die Vereinbarungen getroffen, dass ein mathematischer Satz eine wahre Aussage ist und mit einem Beweis der Nachweis dieser Wahrheit geführt wird.
- Abtrennungsregel
Sind Prämisse und Implikation jeweils wahre Aussagen, dann ist auch die Konklusion eine wahre Aussage. Sofern die Prämisse nicht wahr ist, ist dieser Schluss nicht zulässig (aus Falschem folgt Beliebiges).
- Direkter Beweis
In diesem Fall wird ausgehend von einer wahren Aussage eine Folge wahrer Implikationen ermittelt, so dass die sukzessive Anwendung der Abtrennungsregel die Wahrheit der Aussage bestätigt.
- Indirekter Beweis
Man nimmt das Gegenteil der eigentlichen Aussage an und leitet daraus einen Widerspruch her.
Quantoren
Wir haben Quantoren – als Aussageform mit einer Variablen und einem Objektbereich – betrachtet.
- Allaussage
Mit einer Allaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für alle Elemente des Objektbereiches wahr ist.
- Existenzaussage
Mit einer Existenzaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für mindestens ein Element des Objektbereiches wahr ist.
Mittwoch
Mengenlehre
Wir haben Mengen als eine Zusammenfassung bestimmter Objekte zu einem Ganzen eingeführt, wobei die einzelnen Objekte als Elemente bezeichnet werden. Eine Menge ist durch die Angabe ihrer Elemente (z. B. durch Aufzählung) eindeutig bestimmt; auf die Reihenfolge kommt es dabei nicht an.
- Gleichheit
Zwei Mengen sind dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
- Leere Menge
Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält und eindeutig bestimmt.
- Zahlbereiche
Wir haben u. a. die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen betrachtet.
- Teilmengen
Eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Elemente dieser ersten Menge in der anderen Menge enthalten sind.
Donnerstag
Mengenlehre
- Operationen
Wir haben den Durchschnitt, die Vereinigung und die Differenz von Mengen betrachtet. Zur Illustration dienten uns hierbei zusätzlich Venn-Diagramme.
Freitag
Abbildungen
Eine Abbildung ordnet jedem Element einer Menge (Definitionsbereich) genau ein Element einer Menge (Wertebereich) zu. Sofern der Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellt, spricht man auch von einer Funktion.
- Gleichheit
Zwei Abbildungen sind gleich, wenn ihr Definitionsbereich, der Wertebereich und die jeweiligen Funktionswerte an jeder Stelle übereinstimmen.
- Identische Abbildung
Die identische Abbildung ordnet jedes Element des Definitionsbereichs sich selbst zu. Definitions- und Wertebereich stimmen entsprechend überein.
- Konstante Abbildung
Die konstante Abbildung ordnet jedem Element des Definitionsbereichs ein festes Element zu.
- Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Eine injektive Abbildung ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich ein verschiedenes Element aus dem Wertebereich zu. Eine surjektive Abbildung hat die Eigenschaft, dass jedes Element aus dem Wertebereich mindestens einmal auftritt. Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Komposition
Unter der Komposition versteht man die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen. Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ, jedoch assoziativ.
- Umkehrabbbildung
Die Umkehrabbildung ordnet jedem Wert einer Abbildung den ursprünglichen Wert zu. Die Komposition dieser beiden Abbildungen ergibt somit die identische Abbildung des Definitions- bzw. Wertebereichs. Die Umkehrabbildung existiert, falls die Abbildung bijektiv ist und ist dann eindeutig bestimmt.
Bachelor studies
Deshalb werde ich wöchentlich eine kleine Zusammenfassung des Studienverlaufs hier schreiben, so dass – neben dem Lerneffekt für mich – auch andere einen Einblick in das Studium der Mathematik erhalten können. Die ersten Lehrveranstaltungen beginnen Mitte Oktober, der Brückenkurs bereits Ende September.
Im ersten Semester besuche ich u. a. die Lehrveranstaltungen Analysis I/III, Lineare Algebra I/II und Computerorientierte Mathematik I/II. Diese werden entsprechend den Großteil der Beiträge beeinflussen.
Ich werde versuchen, weitere Artikel zur Softwareentwicklung mit C# zumindest einmal im Monat zu veröffentlichen.
Arbitrary-precision Arithmetic in C#
Int16 (short), Int32 (int) und Int64 (long) definieren.Zwar ist es eine gute Übung, arithmetische Operationen auf ganzen Zahlen, die als Zeichenkette vorliegen, selbst zu implementieren – das .NET-Framework bringt jedoch bereits seit v4.0 die Struktur
BigInteger aus System.Numerics mit. Sofern du dir also nicht sehr sicher bist, eine für deinen spezifischen Anwendungsfall bessere Implementierung vorliegen zu haben, solltest du eher auf das Framework setzen.Die Verwendung gestaltet sich denkbar einfach, insofern belasse ich es für den Moment bei ein paar Beispielen:
0102030405060708091011
BigInteger a = BigInteger.Parse("34872923458349238592320478");BigInteger b = BigInteger.Parse("14782398471853465710237672");
// Operatorüberladung für BigInteger.Add(a, b)BigInteger sum = (a + b); // 49655321930202704302558150
// Operatorüberladung für BigInteger.Subtract(a, b)BigInteger difference = (a – b); // 20090524986495772882082806
// Operatorüberladung für BigInteger.Multiply(a, b)BigInteger product = (a * b); // 515505450439764661138576432136536115538523372647216
Notwendig sind derartige Vorgehensweisen beispielsweise in der Kryptologie oder bei Simulationen in der numerischen Mathematik. Hauptsächlich kam ich jedoch deswegen auf diesen kurzen Beitrag, da einige Entwickler die Einführung dieser Struktur (
BigInteger ist nicht als Klasse implementiert) verpasst zu haben scheinen. 
String.Format by Object Properties
String.Format-Methode verwendet haben – ansonsten wird es auf jeden Fall höchste Zeit, sich damit zu beschäftigen. Beispiel:
0102030405
string message = String.Format("{0} ist {1} Jahre alt und besitzt {2:C}.", "Bernd", 35, 1234.56); // "Bernd ist 35 Jahre alt und besitzt 1234,56 €."
String schreiben, welche auf Reflexion setzt:
01020304050607080910111213
public static string FormatByObject(this string str, object obj) { StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder(str); { foreach(PropertyInfo propertyInfo in obj.GetType().GetProperties()) { stringBuilder.Replace( "{" + propertyInfo.Name + "}", propertyInfo.GetValue(obj).ToString() ); } }
return stringBuilder.ToString();}
0102030405
message = "{Name} ist {Age} Jahre alt und besitzt {Balance} €.".FormatByObject(new { Name = "Bernd", Age = 35, Balance = 1234.56}); // "Bernd ist 35 Jahre alt und besitzt 1234,56 €."
{Balance:C} zur Währungsformatierung möglich. Dies könnte dadurch behoben werden, indem wir unsere erweiterte Formatierung auf das Basisformat zurückführen – sprich, die Zeichenketten durch einen Index ersetzen. Ich werde dies in einem separaten Beitrag noch einmal aufgreifen. Project links
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