Schlagwort: Studium

Wissenschaft im Diskurs 👍 👎

Regelmäßig erscheinen nicht nur in Fachmagazinen Artikel zu wissenschaftlichen Erkenntnissen, sondern auch in klassischen Nachrichtenmagazinen. Hierbei beobachte ich leider sehr häufig eine große Unsicherheit bis hin zu mehr als fragwürdigen Äußerungen in den zugehörigen Diskussionsbereichen. Daher dachte ich mir, es kann möglicherweise nicht schaden, hier ein paar Aspekte der Natur- und Strukturwissenschaften herauszustellen.

Naturwissenschaften

Naturwissenschaften beschäftigen sich – naheliegenderweise – mit den verschiedenen Erscheinungen der Natur.

Anspruch

Ein verbreiteter Irrtum ist es, Naturwissenschaften als etwas zu sehen, woran man glauben müsste. Im Gegenteil ist es richtig und wichtig, entsprechende Erkenntnisse kritisch zu hinterfragen und zu überprüfen. Naturwissenschaften haben außerdem explizit nicht den Anspruch, Antworten auf den Sinn des Lebens oder ähnliche philosophische Fragestellungen liefern zu können oder auch nur zu wollen.

Naturwissenschaften beobachten natürliche Ereignisse, um auf deren Basis möglichst präzise Beschreibungen und im Idealfall schließlich Vorhersagen erarbeiten zu können. Diese Vorhersagen können sich durchaus auch als unzutreffend erweisen, was für die wissenschaftliche Arbeit jedoch keine "Niederlage" darstellt. Auch daraus lässt sich nämlich neue Erkenntnis ziehen und sei es auch nur, dass man etwas doch noch nicht verstanden hat.

Es gilt im Hinterkopf zu behalten, dass es sich immer um beschreibende Modelle dessen handelt, was Gegenstand der Untersuchung ist. Das heißt nicht zwangsläufig, dass etwas nun "so ist" – Modelle können fortlaufend durch neue Erkenntnisse verbessert oder gar verworfen werden. Im Übrigen können im naturwissenschaftlichen Bereich auch (hinreichend genaue) Näherungslösungen erwünscht und akzeptabel sein.

Finanzen

Naturwissenschaftliche Forschung kostet Geld. Je nach konkretem Vorhaben kann es sich hierbei um Kleinstbeträge mit Küchenutensilien bis hin zu Vorhaben handeln, die außerhalb unserer Erde stattfinden und mehrere Milliarden Euro kosten.

Das Geld wird jedoch nicht, wie oft behauptet, "ins All geschossen" – entsprechend hochwertiges Material kann zwar teuer sein, aber das ist auch schon alles, was dort verbleiben wird. Selbst Weltraumagenturen neigen also keineswegs dazu, Geldscheine in Raketen auf andere Himmelskörper zu befördern. Vielmehr dienen diese Ausgaben insbesondere dazu, die mitunter zahlreichen Mitarbeiter zu bezahlen – von der Förderung der Rohstoffe, über Berater bis hin zu Astronauten. Es ist im Übrigen eine verbreitete Fehlannahme, durch hier "eingesparte" Gelder plötzlich den Welthunger stillen zu können – derartige Probleme sind oftmals ökologischer, sozialer und politischer Art und höchstens am Rande eine Frage des Geldes.

Damit ist leider tatsächlich nicht ausgeschlossen, dass es auch im wissenschaftlichen Betrieb, wie überall sonst auch, zu unnötigen Ausgaben kommen kann. Das finde ich selbstverständlich auch nicht toll und – sofern nicht selbst provoziert – die beteiligten Forscher sicher ebenfalls nicht. Nicht zuletzt möchte ich auch an dieser Stelle noch einmal darauf hinweisen, dass man auch aus augenscheinlichen Fehlschlägen Erkenntnisse ziehen kann.

Grundlagenforschung

Im Bereich der Naturwissenschaften findet, insbesondere an Universitäten, Grundlagenforschung statt. Diese dient als Basis für eventuell mögliche Anwendungen und weitergehende Überlegungen. Diese Grundlagenforschung kann sehr theoretisch sein und mit exotischen Materialien arbeiten; die Nützlichkeit für den Alltag erschließt sich nicht unbedingt sofort. Es handelt sich vordergründig um eine Maßnahme des weiteren Erkenntnisgewinns.

Man weiß mitunter nicht immer bereits im Voraus, wozu eine Überlegung später dienen könnte – und ob überhaupt. Es liegt jedoch in der Natur des Menschen, die Grenzen des Möglichen durch intellektuelle Auseinandersetzung mit dem Gegebenen zu verschieben. Zur Beruhigung sei darauf hingewiesen, dass selbst aus historischer Sicht sehr kuriose Ansätze in heutige Alltagsprodukte einfließen konnten (Stichworte: Quantenmechanik, Zahlentheorie). Ihr solltet also nicht sofort an Verschwendung denken, wenn ihr nicht sofort eine Broschüre mit möglichen Produkten zu einer wissenschaftlichen Theorie finden könnt.

Vertreter

Typische Vertreter der Naturwissenschaften sind die Biologie, Chemie und Physik.

Strukturwissenschaften

Strukturwissenschaften untersuchen abstrakte Objekte auf ihre Eigenschaften und dienen der Modellbildung.

Anspruch

Im Gegensatz zur empirischen Vorgehensweise der Naturwissenschaften basieren Strukturwissenschaften auf einem deduktiven Ansatz, bei welchem – ausgehend von gewissen Grundannahmen – logische Schlüsse gezogen werden. Dies ermöglicht – bei gültigen Schlüssen – tatsächlich absolute, unwiderlegbare Aussagen, die jedoch auch nur soweit gültig sind, wie es die Theorie selbst erlaubt. Wesentliches Element ist die Abstraktion.

Modellbildung

Als sehr einfaches Beispiel sei folgende Überlegung eingebracht: Dass 1 + 1 = 2 ist, dürften die meisten Menschen ohne weiteres Zögern akzeptieren, da es ihnen so beigebracht wurde. Dies ist für die "gewöhnliche" Addition auf natürlichen Zahlen auch völlig richtig und wird sich garantiert niemals ändern, denn im Gegensatz zu natürlichen Phänomenen können hier keine neuen Erkenntnisse auftauchen, die die Aussage widerlegen könnten – vielmehr ist die Theorie absichtlich so konstruiert, dass die Aussage stimmt.

Genauso kann es jedoch auch sinnvoll sein, davon abzuweichen und ein anderes Modell als Grundlage zu verwenden. Sofern wir im Dualsystem rechnen, ergibt sich nämlich die Gleichung 1 + 1 = 10 und in noch spezielleren Algebren ergibt sich gar 1 + 1 = 0 (mod 2). Und tatsächlich ist jede dieser drei Gleichungen in ihrem jeweiligen Kontext richtig und keine der jeweils anderen wurde durch eine dieser Gleichungen widerlegt. Es wäre schlicht umständlich für an das Dezimalsystem gewöhnte Menschen, wenn wir unsere Gegenstände im Dualsystem zählen würden (obwohl aus mathematischer Sicht nichts dagegen spräche).

Ein Computer arbeitet jedoch anders, sodass ein anderes Modell als Grundlage verwendet werden kann – und das funktioniert im Rahmen der Digitaltechnik äußerst gut, wie man nicht zuletzt daran sehen kann, dass ihr hier gerade einen Blog über das Internet lesen könnt, in welchem durchaus sehr spezielle Mathematik zum Einsatz kommen kann, beispielsweise bei Komprimierungen und Verschlüsselungen. Es geht also auch hier letztendlich nicht um "die Wahrheit", sondern vielmehr um passendes Werkzeug zur Lösung einer Problemstellung.

Verbindung

Im Kontext unserer bisherigen Überlegungen sind nun auch die Verbindungen zu den anderen Wissenschaften, beispielsweise der Physik, zu betrachten. Mitunter abenteuerlich anmutende Beschreibungen natürlicher Phänomene bedeuten nun eben genau nicht, dass sich die Natur so verhalten muss, sondern die Natur verhält sich auch völlig ohne unsere Modelle genau so, wie sie es eben macht.

Unsere Modelle dienen lediglich der möglichst präzisen Beschreibung dessen, was wir beobachten können, um davon ausgehend beispielsweise Vorhersagen treffen zu können. Diese Modelle müssen möglicherweise angepasst werden, dies macht jedoch explizit nicht die dahinterliegende Mathematik falsch, sondern bedeutet lediglich, dass das falsche "Werkzeug" gewählt wurde – oder aber Fehler in der Anwendung gemacht wurden. Es sei entsprechend nochmals darauf hingewiesen, dass im Universum also keine Matrizen umherschwirren und auch physikalische Bezeichnungen sollte man nicht immer wörtlich nehmen (Quarks sind also nicht etwa bunt im üblichen Sinne, von "Farben" spricht man hier lediglich im Sinne einer Kategorisierung und "dunkle Materie" meint schlicht einen zumindest bisher nicht sichtbaren Einfluss) – dennoch können sie hilfreich sein, bestimmte Phänomene zu beschreiben.

Die Frage nach dem finalen "Warum?" kann schließlich niemand beantworten; Religionen deklarieren hier lediglich willkürlich und ohne jegliche Evidenz ihre vorgebliche Überzeugung zur "Erklärung" und schließen weitere Nachfragen aus. Konzeptionell ähnlich gehen Pseudo-Wissenschaften und Verschwörungstheorien vor, welche ohne jegliche Anhaltspunkte (bzw. sogar vielen gegensätzlichen Aspekten) einer Überzeugung anhängen. Bloße Gefühle, Meinungen und Sichtweisen genügen dem wissenschaftlichen Anspruch explizit nicht.

Vertreter

Typische Vertreter der Strukturwissenschaften sind die Informatik, Logik und Mathematik.


Bitte beachtet, dass dieser sehr vereinfachte Überblick nicht die ganze Breite der jeweiligen Begriffe und Fachgebiete klären kann, sondern vielmehr dem interessierten Laien eine Möglichkeit der Einordnung geben soll. Sofern ich mit diesem Beitrag dazu anregen konnte, diese Arten der Wissenschaft besser differenzieren zu können und nicht gar nur als "akademische Selbstbeschäftigung" zu betrachten, würde ich mich jedoch sehr freuen.

Weiterführende Informationen und Verweise

Forschungseinrichtungen in Deutschland
Wissenschaftlich orientierte Blogs und Podcasts
Magazine

Die Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft veröffentlicht mehrere (natur-)wissenschaftliche Magazine, darunter insbesondere auch das bekannte Spektrum der Wissenschaft. Die Ausgaben erscheinen monatlich und bieten oftmals auch (ggf. auf Deutsch übersetzte) Artikel direkt beteiligter Forscher.

Mathematik-Brückenkurs an der FU Berlin (2/2) 👍 👎

Im Folgenden der Ablauf der zweiten Woche des Mathematik-Brückenkurses an der FU Berlin im WS14/15:

Montag

Abzählbarkeit

Um unendlich große Mengen auf Gleichmächtigkeit zu prüfen, haben wir die Abzählbarkeit einer unendlichen Menge definiert. Abzählbarkeit besteht, wenn eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen in diese Menge existiert. Zur Herleitung diente uns Cantors erstes Diagonalargument. Eine Menge, für die keine derartige Abbildung existiert, bezeichnen wir als überabzählbar (Cantors zweites Diagonalargument).

Vollständige Induktion

Der Induktionsbeweis dient dazu, Allaussagen für alle natürlichen Zahlen zu beweisen. Hierzu wird zuerst der Induktionsanfang gesetzt und bewiesen, um darauf aufbauend die Gültigkeit für alle nachfolgenden Zahlen zu beweisen (Induktionsschritt). Die Aussage selbst wird als Induktionsvoraussetzung bezeichnet.

Dienstag

Summen- und Produktzeichen
  • Summenzeichen

    Wir haben endliche Summen eingeführt, die mit Hilfe des Summenzeichens, bestehend aus dem Index mit Startwert und dem Endwert sowie eines Folgegliedes der Reihe eingeführt. Wir haben Rechenregeln zur Multiplikation mit einer Konstanten, die Addition von Summen und die Indextransformation eingeführt. Die leere Summe wird zu 0 (neutrales Element der Addition) definiert.

  • Produktzeichen

    Das endliche Produkt wurde analog zu obiger Definition eingeführt, wobei das leere Produkt zu 1 (neutrales Element der Multiplikation) definiert wird. In diesem Zusammenhang haben wir ebenfalls die Fakultät einer natürlichen Zahl betrachtet.

Erweitertes Induktionsprinzip

Wir haben die vollständige Induktion erweitert, um den Induktionsanfang mit dem Wert 1 zu verallgemeinern.

  • Kardinalität einer Menge

    Die Kardinalität einer endlichen Menge bezeichnet deren Mächtigkeit und entspricht der Anzahl der Elemente.

Binomialkoeffizient

Wir haben zum Verständnis der (allgemeinen) binomischen Formel den Binomialkoeffizienten eingeführt.

  • Pascalsches Dreieck

    Zur Illustration der Berechnung der Werte der Binomialkoeffizienten haben wir diese in Form des pascalschen Dreiecks angeordnet. Hierbei entsprechen die Werte eines Binomialkoeffizienten der Summe der beiden darüber angeordneten Werte.

Zur Rückführung auf Bekanntes haben wir die binomische Formel mit dem Spezialfall 2 als Exponenten betrachtet.

Mittwoch

Kombinatorik

Wir haben den Begriff der Kombinatorik im Allgemeinen eingeführt.

  • Permutationen

    Unter einer Permutation versteht man eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst. Es handelt sich somit um die möglichen Anordnungen ihrer Elemente.

Wir haben außerdem den bereits eingeführten Begriff des Binomialkoeffizienten verwendet, um beispielsweise die Anzahl der möglichen Kombinationen im Lotto zu ermitteln.

Donnerstag

Körper der reellen Zahlen

Wir haben den Körper der reellen Zahlen als Grundlage der Analysis auf Basis von Axiomen eingeführt. Der Körper enthält die zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen Addition und Multiplikation.

  • Axiome

    Axiome sind grundsätzliche Festlegungen, die nicht weiter bewiesen werden. Es gelten die Assoziativ- und Kommutativgesetze und das Distributivgesetz. Es existieren für Addition und Multiplikation jeweils ein neutrales (0 und 1) und ein inverses Element.

Weitere Inhalte waren u. a. die Ordnung und der absolute Betrag reeller Zahlen.

Mathematik-Brückenkurs an der FU Berlin (1/2) 👍 👎

Im Folgenden der Ablauf der ersten Woche des Mathematik-Brückenkurses an der FU Berlin im WS14/15:

Montag

Elementare Logik

Wir haben den Begriff der mathematischen Aussage als sinnvolles sprachliches Gebilde definiert, welches entweder wahr oder falsch sein kann. Es handelt sich in diesem Sinne um eine zweiwertige Logik.

  • Junktoren

    Wir haben grundlegende logische Verknüpfungen eingeführt. Konkret handelt es sich um die Verknüpfungen Negation (NOT), Konjunktion (UND), Disjunktion (ODER – einschließend), Kontravalenz (ODER – ausschließend), Implikation (mit Prämisse als Voraussetzung und Konklusion als Folgerung) und Äquivalenz (Gleichwertigkeit). Die Definition erfolgte jeweils über Wahrheitstafeln. Wir haben darüber hinaus zusammengesetzte Aussagen aus den zuvor genannten Verknüpfungen betrachtet und dazu eine entsprechende Operatorpräzedenz vereinbart.

  • Tautologien

    Wir haben uns zusammengesetzte Aussagen, die unabhängig von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen wahr sind und entsprechend allgemeingültig genannt werden, angesehen. Dazu gehören – neben einigen anderen – insbesondere das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die De Morganschen Gesetze, die doppelte Negation und die Kontraposition.

Dienstag

Beweisprinzipien

Wir haben die Vereinbarungen getroffen, dass ein mathematischer Satz eine wahre Aussage ist und mit einem Beweis der Nachweis dieser Wahrheit geführt wird.

  • Abtrennungsregel

    Sind Prämisse und Implikation jeweils wahre Aussagen, dann ist auch die Konklusion eine wahre Aussage. Sofern die Prämisse nicht wahr ist, ist dieser Schluss nicht zulässig (aus Falschem folgt Beliebiges).

  • Direkter Beweis

    In diesem Fall wird ausgehend von einer wahren Aussage eine Folge wahrer Implikationen ermittelt, so dass die sukzessive Anwendung der Abtrennungsregel die Wahrheit der Aussage bestätigt.

  • Indirekter Beweis

    Man nimmt das Gegenteil der eigentlichen Aussage an und leitet daraus einen Widerspruch her.

Quantoren

Wir haben Quantoren – als Aussageform mit einer Variablen und einem Objektbereich – betrachtet.

  • Allaussage

    Mit einer Allaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für alle Elemente des Objektbereiches wahr ist.

  • Existenzaussage

    Mit einer Existenzaussage wird die Aussage getroffen, dass eine Aussage für mindestens ein Element des Objektbereiches wahr ist.

Mittwoch

Mengenlehre

Wir haben Mengen als eine Zusammenfassung bestimmter Objekte zu einem Ganzen eingeführt, wobei die einzelnen Objekte als Elemente bezeichnet werden. Eine Menge ist durch die Angabe ihrer Elemente (z. B. durch Aufzählung) eindeutig bestimmt; auf die Reihenfolge kommt es dabei nicht an.

  • Gleichheit

    Zwei Mengen sind dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

  • Leere Menge

    Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält und eindeutig bestimmt.

  • Zahlbereiche

    Wir haben u. a. die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen betrachtet.

  • Teilmengen

    Eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Elemente dieser ersten Menge in der anderen Menge enthalten sind.

Donnerstag

Mengenlehre
  • Operationen

    Wir haben den Durchschnitt, die Vereinigung und die Differenz von Mengen betrachtet. Zur Illustration dienten uns hierbei zusätzlich Venn-Diagramme.

Freitag

Abbildungen

Eine Abbildung ordnet jedem Element einer Menge (Definitionsbereich) genau ein Element einer Menge (Wertebereich) zu. Sofern der Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellt, spricht man auch von einer Funktion.

  • Gleichheit

    Zwei Abbildungen sind gleich, wenn ihr Definitionsbereich, der Wertebereich und die jeweiligen Funktionswerte an jeder Stelle übereinstimmen.

  • Identische Abbildung

    Die identische Abbildung ordnet jedes Element des Definitionsbereichs sich selbst zu. Definitions- und Wertebereich stimmen entsprechend überein.

  • Konstante Abbildung

    Die konstante Abbildung ordnet jedem Element des Definitionsbereichs ein festes Element zu.

  • Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

    Eine injektive Abbildung ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich ein verschiedenes Element aus dem Wertebereich zu. Eine surjektive Abbildung hat die Eigenschaft, dass jedes Element aus dem Wertebereich mindestens einmal auftritt. Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

  • Komposition

    Unter der Komposition versteht man die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen. Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ, jedoch assoziativ.

  • Umkehrabbbildung

    Die Umkehrabbildung ordnet jedem Wert einer Abbildung den ursprünglichen Wert zu. Die Komposition dieser beiden Abbildungen ergibt somit die identische Abbildung des Definitions- bzw. Wertebereichs. Die Umkehrabbildung existiert, falls die Abbildung bijektiv ist und ist dann eindeutig bestimmt.

Jeder Vorlesung schloss sich eine Übung an. Dort können Fragen zum Inhalt der Vorlesung gestellt und Aufgaben – insbesondere das Beweisen – zusammen mit anderen Teilnehmern und dem Tutor bearbeitet werden.

Bachelor studies 👍 👎

Ich nehme zum Wintersemester das Studium der Mathematik (B.Sc.) mit dem Ergänzungsbereich Informatik an der FU Berlin auf und möchte interessierte Leser gerne ein wenig daran teilhaben lassen.

Deshalb werde ich wöchentlich eine kleine Zusammenfassung des Studienverlaufs hier schreiben, so dass – neben dem Lerneffekt für mich – auch andere einen Einblick in das Studium der Mathematik erhalten können. Die ersten Lehrveranstaltungen beginnen Mitte Oktober, der Brückenkurs bereits Ende September.

Im ersten Semester besuche ich u. a. die Lehrveranstaltungen Analysis I/III, Lineare Algebra I/II und Computerorientierte Mathematik I/II. Diese werden entsprechend den Großteil der Beiträge beeinflussen.

Ich werde versuchen, weitere Artikel zur Softwareentwicklung mit C# zumindest einmal im Monat zu veröffentlichen.

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